Потенциал. Энергия системы электрических зарядов

1. Сначала рассмотрим систему, состоящую из двух точечных зарядов 1 и 2. Найдем алгебраическую сумму элементарных работ сил f 1 и F 2 , с которыми эти заряды взаимодействуют. Пусть в некоторой K-системе отсчета за время dt заряды совершили перемещения dl 1 и dl 2 . Тогда работа этих сил δА 1,2 = F 1 dl 1 +F 2 dl 2 . Учитывая, что F 2 = -F l (по третьему закону Ньютона): δА 1,2 = F 1 (dl 1 - dl 2). Величина в скобках - это перемещение заряда 1 относительно заряда 2. Точнее, это есть перемещение заряда 1 в K"-системе отсчета, жестко связанной с зарядом 2 и перемещающейся вместе с ним поступательно по отношению к исходной K-системе. Действительно, перемещение dl 1 заряда 1 в K-системе может быть представлено как перемещение dl 2 K"-системы плюс перемещение dl 1 заряда 1 относительно этой K"-системы: dl 1 = dl 2 + dl 1 . Отсюда dl 1 -dl 2 = dl` 1 и δА 1,2 = F 1 dl` 1 . Работа δA1,2 не зависит от выбора исходной K-системы отсчета. Сила F 1 действующая на заряд 1 со стороны заряда 2, консервативна (как сила центральная). Поэтому работа данной силы на перемещении dl` 1 может быть представлена как убыль потенциальной энергии заряда 1 в поле заряда 2 или как убыль потенциальной энергии взаимодействия этой пары зарядов: δА 1,2 = -dW 1,2 , где W12 - величина, зависящая только от расстояния между данными зарядами.

2. Перейдем к системе из трех точечных зарядов (полученный для этого случая результат легко будет обобщить на систему из произвольного числа зарядов). Работа, которую совершают все силы взаимодействия при элементарных перемещениях всех зарядов, может быть представлена как сумма работ всех трех пар взаимодействий, т. е. δА = δA 1,2 + δA 1,3 + δА 2,3 . Но для каждой пары взаимодействий δA i,k = -dW ik , поэтому δА = -d(W 12 + W 13 +W 23)=-dW, где W - энергия взаимодействия данной системы зарядов, W = W 12 + W 13 +W 23 . Каждое слагаемое этой суммы зависит от расстояния между соответствующими зарядами, поэтому энергия W данной системы зарядов есть функция ее конфигурации. Подобные рассуждения справедливы и для системы из любого числа зарядов. Значит, можно утверждать, что каждой конфигурации произвольной системы зарядов присуще свое значение энергии W, и δА = -dW.

Энергия взаимодействия . Рассмотрим систему из трех точечных зарядов, для которой показано, что W = W 12 + W 13 + W 23 . Представим каждое слагаемое W ik в симметричном виде: W ik = (W ik + W ki)/2, поскольку W ik = W ki . Тогда W = (W 12 + W 21 + W 13 + W 3l + W 23 + W 32)/2. Сгруппируем члены: W=[(W 12 +W 13) + (W 21 +W 23) + (W 3l +W 32)]/2. Каждая сумма в круглых скобках - это энергия Wi взаимодействия i-гo заряда с остальными зарядами. Поэтому:

Имея в виду, что W i = q i φ i , где q i - i-й заряд системы; φ i -потенциал, создаваемый в месте нахождения i-ro заряда всеми остальными зарядами системы, получим окончательное выражение для энергии взаимодействия системы точечных зарядов:

Полная энергия взаимодействия . Если заряды распределены непрерывно, то, разлагая систему зарядов на совокупность элементарных зарядов dq = ρdV и переходя от суммирования в (4.3) к интегрированию, получаем

(4.4), где φ - потенциал, создаваемый всеми зарядами системы в элементе объемом dV. Аналогичное выражение можно записать для распределения зарядов по поверхности, заменив ρ на σ и dV на dS. Пусть система состоит из двух шаров, имеющих заряды q 1 и q 2 . Расстояние между шарами значительно больше их размеров поэтому заряды q l и q 2 можно считать точечными. Найти энергию W данной системы с помощью обеих формул. Согласно формуле (4.3),где φ 1 - потенциал, создаваемый зарядом q 2 в месте нахождения заряда q 1 , аналогичный смысл имеет и потенциал φ 2 . Согласно же формуле (4.4) нужно разбить заряд каждого шарика на бесконечно малые элементы ρdV и каждый из них умножить на потенциал φ, создаваемый не только зарядами другого шарика, но и элементами заряда этого шарика. Тогда: W = W 1 + W 2 + W 12 (4.5), где W 1 - энергия взаимодействия друг с другом элементов заряда первого шарика; W 2 - то же, но для второго шарика; W 12 - энергия взаимодействия элементов заряда первого шарика с элементами заряда второго шарика. Энергии W 1 и W 2 называют собственными энергиями зарядов q 1 и q 2 , a W 12 -энергией взаимодействия заряда q 1 с зарядом q 2 .

Энергия уединенного проводника . Пусть проводник имеет заряд q и потенциал φ. Поскольку значение φ во всех точках, где имеется заряд, одинаково, φ можно вынести из-под знака интеграла в формуле (4.4). Тогда оставшийся интеграл есть не что иное, как заряд q на проводнике, и W=qφ/2=Cφ 2 /2=q 2 /2C (4.6).(C учетом того, что С = q/φ).

Энергия конденсатора . Пусть q и φ - заряд и потенциал положительно заряженной обкладки конденсатора. Согласно формуле (4.4) интеграл можно разбить на две части - для одной и другой обкладок. Тогда

W = (q + φ + –q _ φ_)/2. Т. к. q_ = –q + , то W = q + (φ + –φ_)/2 = qU/2, где q=q + - заряд конденсатора, U - разность потенциалов на обкладках. С=q/U => W= qU/2=CU 2 /2=q 2 /2C(4.7). Рассмотрим процесс зарядки конденсатора как перенос заряда малыми порциями dq" с одной обкладки на другую. Элементарная работа, совершенная нами при этом против сил поля, запишется как д А=U’dq’=(q’/C)dq’, где U’ - разность потенциалов между обкладками в момент, когда переносится очередная порция заряда dq". Проинтегрировав это выражение по q" от 0 до q, получим А = q 2 /2C, что совпадает с выражением для полной энергии конденсатора. Кроме того, полученное выражение для работы А справедливо и в том случае, когда между обкладками конденсатора имеется произвольный диэлектрик. Это относится и к формулам (4.6).

Конец работы -

Эта тема принадлежит разделу:

Электрическая энергия системы зарядов

На сайте сайт читайте: "электрическая энергия системы зарядов"

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

В пределах электростатики невозможно дать ответ на вопрос, где сосредоточена энергия конденсатора. Поля и заряды, их образовавшие, не могут существовать обособленно. Их не разделить. Однако переменные поля могут существовать независимо от возбуждавших их зарядов (излучение солнца, радиоволны, …), и они переносят энергию. Эти факты заставляют признать, что носителем энергии является электростатическое поле .

При перемещении электрических зарядов силы кулоновского взаимодействия совершают определенную работу dА . Работа, совершенная системой, определяется убылью энергии взаимодействия -dW зарядов

(5.5.1)

Энергия взаимодействия двух точечных зарядов q 1 и q 2 , находящихся на расстоянии r 12 , численно равна работе по перемещению заряда q 1 в поле неподвижного заряда q 2 из точки с потенциалом в точку с потенциалом :

(5.5.2)

Удобно записать энергию взаимодействия двух зарядов в симметричной форме

(5.5.3)

Для системы из n точечных зарядов (рис. 5.14) в силу принципа суперпозиции для потенциала, в точке нахождения k -го заряда, можно записать:

Здесь φ k , i - потенциал i -го заряда в точке расположения k -го заряда. В сумме исключен потенциал φ k , k , т.е. не учитывается воздействие заряда самого на себя, равное для точечного заряда бесконечности.

Тогда взаимная энергия системы n зарядов равна:

(5.5.4)

Данная формула справедлива лишь в случае, если расстояние между зарядами заметно превосходит размеры самих зарядов.

Рассчитаем энергию заряженного конденсатора. Конденсатор состоит из двух, первоначально незаряженных, пластин. Будем постепенно отнимать у нижней пластины заряд dq и переносить его на верхнюю пластину (рис. 5.15).

В результате между пластинами возникнет разность потенциалов При переносе каждой порции заряда совершается элементарная работа

Воспользовавшись определением емкости получаем

Общая работа, затраченная на увеличение заряда пластин конденсатора от 0 до q , равна:

Эту энергию можно также записать в виде

Электрическая энергия системы зарядов.

Работа поля при поляризации диэлектрика.

Энергия электрического поля.

Как и всякая материя, электрическое поле обладает энергией. Энергия является функцией состояния, а состояние поля задается напряженностью. Откуда следует, что энергия электрического поля является однозначной функцией напряжённости. Так как, то крайне важно ввести представление о концентрации энергии в поле. Мерой концентрации энергии поля является её плотность:

Найдём выражение для. Рассмотрим для этого поле плоского конденсатора, считая его всюду однородным. Электрическое поле в любом конденсаторе возникает в процессе его зарядки, который можно представить как перенос зарядов от одной пластины к другой (см. рисунок). Элементарная работа͵ затраченная на перенос заряда равна:

где, а полная работа:

которая идет на увеличение энергии поля:

Учитывая, что (электрического поля не было), для энергии электрического поля конденсатора получаем:

В случае плоского конденсатора:

так как, - объём конденсатора, равный объёму поля. Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, плотность энергии электрического поля равна:

Эта формула справедлива только в случае изотропного диэлектрика.

Плотность энергии электрического поля пропорциональна квадрату напряженности. Эта формула, хотя и получена для однородного поля, верна для любого электрического поля. В общем случае энергию поля можно вычислить по формуле:

В выражении входит диэлектрическая проницаемость. Это означает, что в диэлектрике плотность энергии больше чем в вакууме. Это связано с тем, что при создании поля в диэлектрике совершается дополнительная работа͵ связанная с поляризацией диэлектрика. Подставим в выражение для плотности энергии значение вектора электрической индукции:

Первое слагаемое связано с энергией поля в вакууме, второе – с работой, затраченное на поляризацию единицы объема диэлектрика.

Элементарная работа͵ затраченная полем на приращение вектора поляризации равна.

Работа по поляризации единицы объема диэлектрика равна:

так как, что и требовалось доказать.

Рассмотрим систему из двух точечных зарядов (см. рисунок) согласно принципу суперпозиции в любой точке пространства:

Плотность энергии электрического поля

Первое и третье слагаемые связаны с электрическими полями зарядов и соответственно, а второе слагаемое отражает электрическую энергию, связанную со взаимодействием зарядов:

Собственная энергия зарядов величина положительная, а энергия взаимодействия может быть как положительной, так и отрицательной.

В отличие от вектора энергия электрического поля – величина не аддитивная. Энергию взаимодействия можно представить более простым соотношением. Для двух точечных зарядов энергия взаимодействия равна:

которую можно представить как сумму:

где - потенциал поля заряда в месте нахождения заряда, а - потенциал поля заряда в месте нахождения заряда.

Обобщая полученный результат на систему из произвольного числа зарядов, получим:

где - заряд системы, - потенциал, создаваемый в месте нахождения заряда, всеми остальными зарядами системы.

В случае если заряды распределены непрерывно с объемной плотностью, сумму следует заменить объёмным интегралом:

где - потенциал, создаваемый всеми зарядами системы в элементе объемом. Полученное выражение соответствует полной электрической энергии системы.

Плотность энергии электрического поля

Первое и третье слагаемые связаны с электрическими полями зарядов исоответственно, а второе слагаемое отражает электрическую энергию, связанную со взаимодействием зарядов:

Собственная энергия зарядов величина положительная
, а энергия взаимодействия может быть как положительной, так и отрицательной
.

которую можно представить как сумму:

где
- потенциал поля зарядав месте нахождения заряда, а
- потенциал поля зарядав месте нахождения заряда.

Обобщая полученный результат на систему из произвольного числа зарядов, получим:

где -
заряд системы,- потенциал, создаваемый в месте нахождения
заряда,всеми остальными зарядами системы.

Если заряды распределены непрерывно с объемной плотностью , сумму следует заменить объёмным интегралом:

где - потенциал, создаваемый всеми зарядами системы в элементе объемом
. Полученное выражение соответствуетполной электрической энергии системы.

Примеры.

Заряженный металлический шар в однородном диэлектрике .

На этом примере мы выясним почему электрические силы в диэлектрике меньше чем в вакууме и рассчитаем электрическую энергию такого шара.

Напряжённость поля в диэлектрике меньше напряжённости в вакууме враз
.

Это связано с поляризацией диэлектрика и возникновением у поверхности проводника связанного заряда противоположного знака заряда проводника(см. рисунок). Связанные зарядыэкранируют поле свободных зарядов, уменьшая его всюду. Напряжённость электрического поля в диэлектрике, равна сумме
, где
- напряжённость поля свободных зарядов,
- напряжённость поля связанных зарядов. Учитывая, что
, находим:

→
→

→
→
→

Поделив на площадь поверхности проводника, находим связь между поверхностной плотностью связанных зарядов
и поверхностной плотностью свободных зарядов:

Полученное соотношение пригодно для проводника любой конфигурации в однородном диэлектрике.

Найдём энергию электрического поля шара в диэлектрике:

Здесь учтено, что
, а элементарный объём с учётом сферической симметрии поля выбран в форме шарового слоя.– ёмкость шара.

Так как зависимость напряжённости электрического поля внутри и вне шара от расстояния до центра шара rописывается различными функциями:

вычисление энергии сводится к сумме двух интегралов:

Отметим, что на поверхности и в объёме диэлектрического шара возникают связанные заряды:

,
,

где
- объёмная плотность свободных зарядов в шаре.

Доказательство проведите самостоятельно, используя связи
,
и теорему Гаусса
.

Собственная энергия каждой оболочки равны соответственно (см. пример 1.):

,
,

а энергия взаимодействия оболочек:

Полная энергия системы равна:

Если оболочки заряжены одинаковыми по величине зарядами противоположного знака
(сферический конденсатор), полная энергия будет равна:

где
- ёмкость сферического конденсатора.

Напряжение, приложенное к конденсатору равно:

где и- напряжённость электрического поля в слоях.

Электрическая индукция в слоях:

- поверхностная плотность свободных зарядов на пластинах конденсатора.

Учитывая связь
из определения ёмкости, получаем:

Полученная формула легко обобщается на случай многослойного диэлектрика:

Работа поля при поляризации диэлектрика.

Энергия электрического поля.

Как и всякая материя, электрическое поле обладает энергией. Энергия является функцией состояния, а состояние поля задается напряженностью. Откуда следует, что энергия электрического поля является однозначной функцией напряжённости. Так как, то необходимо ввести представление о концентрации энергии в поле. Мерой концентрации энергии поля является её плотность:

Найдём выражение для. Рассмотрим для этого поле плоского конденсатора, считая его всюду однородным. Электрическое поле в любом конденсаторе возникает в процессе его зарядки, который можно представить как перенос зарядов от одной пластины к другой (см. рисунок). Элементарная работа, затраченная на перенос заряда равна:

где, а полная работа:

которая идет на увеличение энергии поля:

Учитывая, что (электрического поля не было), для энергии электрического поля конденсатора получаем:

В случае плоского конденсатора:

так как, - объём конденсатора, равный объёму поля. Таким образом, плотность энергии электрического поля равна:

Эта формула справедлива только в случае изотропного диэлектрика.

В выражении входит диэлектрическая проницаемость. Это означает, что в диэлектрике плотность энергии больше чем в вакууме. Это связано с тем, что при создании поля в диэлектрике совершается дополнительная работа, связанная с поляризацией диэлектрика. Подставим в выражение для плотности энергии значение вектора электрической индукции:

Элементарная работа, затраченная полем на приращение вектора поляризации равна.

Работа по поляризации единицы объема диэлектрика равна:

так как, что и требовалось доказать.

Плотность энергии электрического поля

которую можно представить как сумму:

где - потенциал поля заряда в месте нахождения заряда, а - потенциал поля заряда в месте нахождения заряда.

Обобщая полученный результат на систему из произвольного числа зарядов, получим:

где - заряд системы, - потенциал, создаваемый в месте нахождения заряда, всеми остальными зарядами системы.

Если заряды распределены непрерывно с объемной плотностью, сумму следует заменить объёмным интегралом: